Fórmulas de matemáticas financieras para ADE: resumen con ejemplos

1. Capitalización simple y compuesta

En capitalización simple los intereses no generan nuevos intereses; en compuesta, sí. En ADE, salvo que el enunciado diga lo contrario, las operaciones a más de un año se hacen en compuesta.

Capitalización simple: C_n = C₀ · (1 + i · n)

Capitalización compuesta: C_n = C₀ · (1 + i)ⁿ

Ejemplo. 10.000 € al 5 % anual compuesto durante 3 años: C₃ = 10.000 · 1,05³ = 11.576,25 €.

2. Descuento simple: comercial y racional

El descuento comercial calcula los intereses sobre el nominal; el racional, sobre el efectivo. Con los mismos datos, el comercial siempre da un efectivo menor.

Descuento comercial: E = N · (1 − d · t)

Descuento racional: E = N / (1 + i · t)

Ejemplo. Un efecto de 5.000 € que vence dentro de 90 días, al 6 % y con año comercial de 360 días. Comercial: E = 5.000 · (1 − 0,06 · 90/360) = 4.925,00 €. Racional: E = 5.000 / (1 + 0,06 · 90/360) = 4.926,11 €.

3. Descuento compuesto

C₀ = C_n · (1 + i)⁻ⁿ

Es la misma fórmula de la capitalización compuesta, despejada hacia atrás. Casi todo el temario de rentas y préstamos se apoya en ella.

4. Tantos equivalentes, tipo nominal y TAE

Dos tipos son equivalentes si, aplicados al mismo capital durante el mismo tiempo, dan el mismo montante. El tipo nominal j_m es el efectivo del subperiodo multiplicado por el número de subperiodos del año.

Equivalencia: (1 + i) = (1 + i_m)^m  ⇒  i_m = (1 + i)^1/m − 1

Nominal: j_m = m · i_m     TAE (sin gastos) = (1 + j_m/m)^m − 1

Ejemplo. Un 12 % nominal con capitalización mensual equivale a un 1 % mensual, y su TAE es 1,01¹² − 1 = 12,68 %. Al revés, un 6 % efectivo anual equivale a un 0,4868 % mensual.

La TAE nunca queda por debajo del tipo nominal: coinciden solo si no hay gastos y los pagos son anuales.

5. Rentas constantes

Una renta es una sucesión de pagos. Pospagable: cada pago al final del periodo; prepagable: al principio.

Valor actual pospagable: V₀ = a · [1 − (1 + i)⁻ⁿ] / i

Valor final pospagable: V_n = a · [(1 + i)ⁿ − 1] / i

Prepagable: se multiplica el resultado pospagable por (1 + i)

Diferida d periodos: V₀ = (1 + i)^−d · a · [1 − (1 + i)⁻ⁿ] / i

Perpetua pospagable: V₀ = a / i

Ejemplo. 1.000 € al final de cada año durante 5 años, al 4 %: valor actual 4.451,82 € y valor final 5.416,32 €. Si la renta fuese perpetua: 1.000 / 0,04 = 25.000,00 €.

6. Rentas en progresión geométrica

Cada pago es el anterior multiplicado por q (por ejemplo, q = 1,02 si crece un 2 % al año).

Temporal pospagable (q ≠ 1 + i): V₀ = a · [1 − qⁿ · (1 + i)⁻ⁿ] / (1 + i − q)

Perpetua pospagable (q < 1 + i): V₀ = a / (1 + i − q)

7. Préstamos

Método francés (cuota constante, el de las hipotecas):

Cuota: a = C₀ · i / [1 − (1 + i)⁻ⁿ]

Intereses del periodo t: I_t = C_t−1 · i     Amortización: A_t = a − I_t     A_t+1 = A_t · (1 + i)

Ejemplo. 10.000 € al 5 % en 4 cuotas anuales: a = 2.820,12 €. El primer año se pagan 500,00 € de intereses y se amortizan 2.320,12 €.

Cuota de amortización constante: A = C₀ / n, y los intereses se calculan cada año sobre el capital pendiente, así que la cuota total baja con el tiempo.

Método americano: cada año se pagan solo los intereses, C₀ · i, y el principal completo al final.

8. Selección de inversiones: VAN y TIR

VAN = −A + Σ Q_t / (1 + k)^t

TIR: el tipo r que hace VAN = 0

Ejemplo. Inversión de 1.000 € con flujos de 400, 500 y 300 € a 1, 2 y 3 años, con k = 8 %: VAN = 37,19 €. Como es positivo, la inversión rinde más que el 8 % exigido, así que su TIR supera ese 8 %.

Errores que más puntos cuestan

• Usar un tipo nominal como si fuera efectivo. Un 12 % nominal mensual no es un 12 % anual.
• Olvidar dónde valora la fórmula: la de renta pospagable da el valor un periodo antes del primer pago.
• Mezclar año comercial (360 días) y año natural (365) sin que lo diga el enunciado.
• No comprobar que en un cuadro de amortización el capital vivo final queda en cero.